题目内容

给定椭圆 $数学公式$ ，称圆心在原点O，半径为 $数学公式$ 的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为 $数学公式$ ，其短轴上的一个端点到F的距离为 $数学公式$ ．
（I）求椭圆C的方程和其“准圆”方程．（II）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个交点，且l₁，l₂分别交其“准圆”于点M，N．
①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求l₁，l₂的方程；
②求证：|MN|为定值．

解：（I）因为 $\text{[math]}$ ，所以b=1
所以椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ，
准圆的方程为x²+y²=4．
（II）（1）因为准圆x²+y²=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），
设过点P（0，2），且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2，
所以 $\text{[math]}$ ，消去y，得到（1+3k²）x²+12kx+9=0，
因为椭圆与y=kx+2只有一个公共点，
所以△=144k²-4×9（1+3k²）=0，
解得k=±1．
所以l₁，l₂方程为y=x+2，y=-x+2．

（2）①当l₁，l₂中有一条无斜率时，不妨设l₁无斜率，
因为l₁与椭圆只有一个公共点，则其方程为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
当l₁方程为 $\text{[math]}$ 时，此时l₁与准圆交于点 $\text{[math]}$ ，
此时经过点 $\text{[math]}$ （或 $\text{[math]}$ ）且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1（或y=-1），即l₂为y=1（或y=-1），显然直线l₁，l₂垂直；
同理可证l₁方程为 $\text{[math]}$ 时，直线l₁，l₂垂直．
②当l₁，l₂都有斜率时，设点P（x₀，y₀），其中x₀²+y₀²=4，
设经过点P（x₀，y₀）与椭圆只有一个公共点的直线为y=t（x-x₀）+y₀，
则 $\text{[math]}$ ，消去y得到x²+3（tx+（y₀-tx₀））²-3=0，
即（1+3t²）x²+6t（y₀-tx₀）x+3（y₀-tx₀）²-3=0，△=[6t（y₀-tx₀）]²-4•（1+3t²）[3（y₀-tx₀）²-3]=0，
经过化简得到：（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+1-y₀²=0，
因为x₀²+y₀²=4，所以有（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+（x₀²-3）=0，
设l₁，l₂的斜率分别为t₁，t₂，因为l₁，l₂与椭圆都只有一个公共点，
所以t₁，t₂满足上述方程（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+（x₀²-3）=0，
所以t₁•t₂=-1，即l₁，l₂垂直．
综合①②知：因为l₁，l₂经过点P（x₀，y₀），又分别交其准圆于点M，N，且l₁，l₂垂直，
所以线段MN为准圆x²+y²=4的直径，所以|MN|=4．
分析：（I）由椭圆的方程与准圆的方程关系求得准圆的方程
（II）（1）由准圆x²+y²=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），
设椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2，与准圆方程联立，由椭圆与y=kx+2只有一个公共点，求得k．从而得l₁，l₂方程
（2）分两种情况①当l₁，l₂中有一条无斜率和②当l₁，l₂都有斜率处理．
点评：本题主要考查直线与曲线的位置关系，通过情境设置，拓展了圆锥曲线的应用范围，同时渗透了其他知识，考查了学生综合运用知识的能力．