题目内容

设Sn是各项均为非零实数的数列{an}的前n项和,给出如下两个命题上:命题p:{an}是等差数列;命题q:等式对任意n(n∈N*)恒成立,其中k,b是常数.
(1)若p是q的充分条件,求k,b的值;
(2)对于(1)中的k与b,问p是否为q的必要条件,请说明理由;
(3)若p为真命题,对于给定的正整数n(n>1)和正数M,数列{an}满足条件,试求Sn的最大值.
【答案】分析:(1)设{an}的公差为d,利用裂项法原等式可化为-+-+…+-)=,整理可得(k-1)n+b=0对于n∈N*恒成立,从而可求得k,b的值;
(2)当k=1,b=0时,假设p是q的必要条件,分当n=1时,当n≥2时,当n≥3时讨论即可判断结论是否正确;
(3)由+≤M,可设a1=rcosθ,an+1=rsinθ,代入求和公式Sn=,利用三角函数的有界性即可求得其最大值.
解答:解:(1)设{an}的公差为d,则原等式可化为-+-+…+-)=
所以=
即(k-1)n+b=0对于n∈N*恒成立,所以k=1,b=0.…(4分)
(2)当k=1,b=0时,假设p是q的必要条件,即“若++…+=①对于任意的n(n∈N*)恒成立,则{an}为等差数列”.
当n=1时,=显然成立.…(6分)
当n≥2时,若++…+=②,
由①-②得,=-),即nan-(n-1)an+1=a1③.
当n=2时,a1+a3=2a2,即a1、a2、a3成等差数列,
当n≥3时,(n-1)an-1-(n-2)an=a1④,即2an=an-1+an+1.所以{an}为等差数列,即p是q的必要条件.…(10分)
(3)由+≤M,可设a1=rcosθ,an+1=rsinθ,所以r≤
设{an}的公差为d,则an+1-a1=nd=rsinθ-rcosθ,
所以d=
所以an=rsinθ-
Sn==r≤=
所以Sn的最大值为…(16分)
点评:本题考查等差数列与等比数列的综合,突出考查“充分、必要条件”在数列中的综合应用,判断(2)中“p是否为q的必要条件”是难点,考查参数方程及三角函数的有界性,属于难题.
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