题目内容

已知各项均为正数的数列{a_n}中，a₁=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N^*，有 2S_n=2an2+an-1．函数f（x）=x²+x，数列{b_n}的首项b₁=

，bn+1=f(bn) -

．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令cn=log2(bn+

)求证：{c_n}是等比数列并求{c_n}通项公式；
（Ⅲ）令d_n=a_n•c_n，（n为正整数），求数列{d_n}的前n项和T_n．

分析：（Ⅰ）利用 2S_n=2an2+an-1．推出a_n+1，a_n的关系式，说明数列是等差数列，然后求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用bn+1=f(bn) -

，以及cn=log2(bn+

)，推出{c_n}是等比数列，即可求{c_n}通项公式；
（Ⅲ）通过d_n=a_n•c_n，（n为正整数），求出d_n的表达式，利用错位相减法法直接求解前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）由 2S_n=an2+an-1      ①
得2S_n+1=an+12+an+1-1         ②
由②-①，得  2a_n+1=2(an+12-an2)  +an+1-an，
即：2(an+1 -an )(an+1+an)  -(an+1+an)=0（2分）
∴(2an+1 -2an  -1)(an+1+an)=0由于数列{a_n}各项均为正数，
∴2an+1 -2an  -1=0
即  an+1-an=

∴数列{a_n}是首项为1，公差为

的等差数列，
∴数列{a_n}的通项公式是 an=1+(n-1)×

n+1

（4分）
（Ⅱ）由bn+1=f(bn) -

知bn+1=bn 2+bn-

，
所以bn+1+

= (bn+

)2，
有log2(bn+1+

) =log2(bn+

)2=2log2(bn+

)，即c_n+1=2C_n（6分）
而c1=log2(b1+

log

=1，
故{c_n}是以c₁=1为首项，公比为2的等比数列．
所以c_n=2^n-1（8分）
（Ⅲ）d_n=a_n•c_n=

n+1

•2n-1=（n+1）2^n-2，
所以数列{d_n}的前n项和T_n=2•2^-1+3•2⁰+…+n•2^n-3+（n+1）•2^n-2…①．
2T_n=2•2+3•2¹+…+n•2^n-2+（n+1）•2^n-1…②．
①-②得-T_n=1+2+2²+…+2^n-2-（n+1）•2^n-1=1+

2(1-2n-2)

1-2

-（n+1）•2^n-1=-n•2^n-1，
解得T_n=n•2^n-1（12分）

点评：本题考查数列的求和，等差数列的通项公式，等差关系的确定，等比关系的确定，错位相减法的应用，考查计算能力．