Question

若对任意角θ，都有

cosθ

a

+

sinθ

b

=1，则下列不等式恒成立的是（　　）

• A、a²+b²≤1
• B、a²+b²≥1
• C、

  1

  a2

  +

  1

  b2

  ≤1
• D、

  1

  a2

  +

  1

  b2

  ≥1

Answer 1

分析：先换元，对任意角θ，都有

cosθ

a

+

sinθ

b

=1，可转化成直线

x

a

+

y

b

=1与单位圆有交点，利用圆心到直线的距离小于等于半径建立不等关系即可．

解答：解：设x=cosθ，y=sinθ则

x

a

+

y

b

=1
对任意角θ，都有

cosθ

a

+

sinθ

b

=1，可看成直线

x

a

+

y

b

=1与单位圆有交点
d=

|ab|

a2+b2

≤ 1，化简得

1

a2

+

1

b2

≥1，
故选D．

点评：本题主要考查了基本不等式，转化成直线和圆恒有交点，属于中档题．