题目内容

设函数,F(x)=xf(x).

(Ⅰ)若函数y=f(x)在x=2处有极值,求实数m的值;

(Ⅱ)试讨论方程的实数解的个数;

(Ⅲ)记函数y=G(x)的导称函数在区间(a,b)上的导函数为,若在(a,b)上>0恒成立,则称函数G(x)(a,b)上为“凹函数”.若存在实数m∈[-2,2],使得函数F(x)在(a,b)上为“凹函数”,求b-a最大值.

答案:
解析:

  本题主要考查函数、导数知识及其应用,考查运算求解能力及抽象概括能力,考查函数与方程、分类与整合、数形结合、化归与转化等思想方法.

   4分

  (Ⅱ)(x)=(x)=g(x),

  即,即

  令,则

  ∴

  由图知,

  当时,(x)=g(x)的实数解的个数为1

  当时,(x)=g(x)的实数解的个数为2

  当时,(x)=g(x)的实数解的个数为3

  当时,(x)=g(x)的实数解的个数为2

  当时,(x)=g(x)的实数解的个数为1

  综上所述,(x)=g(x)的实数解的个数为1,当(x)=g(x)的实数解的个数为2,当F'(x)=g(x)的实数解的个数为1; 10分

  (Ⅲ)(x)=若存在实数m∈[-2,2],使得函数F(x)在(a,b)上为“凹函数”,则在(a,b)上(x)>0恒成立

  (x)的对称轴为

  的两根为

  则

  m∈[-2,2]

  的最大值为,故,从而b-a最大值为 12分


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