题目内容
设函数,,F(x)=xf(x).
(Ⅰ)若函数y=f(x)在x=2处有极值,求实数m的值;
(Ⅱ)试讨论方程的实数解的个数;
(Ⅲ)记函数y=G(x)的导称函数在区间(a,b)上的导函数为,若在(a,b)上>0恒成立,则称函数G(x)(a,b)上为“凹函数”.若存在实数m∈[-2,2],使得函数F(x)在(a,b)上为“凹函数”,求b-a最大值.
答案:
解析:
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本题主要考查函数、导数知识及其应用,考查运算求解能力及抽象概括能力,考查函数与方程、分类与整合、数形结合、化归与转化等思想方法. 4分 (Ⅱ)(x)=,(x)=g(x), 即,即. 令,则∵ ∴ 由图知, 当时,(x)=g(x)的实数解的个数为1 当时,(x)=g(x)的实数解的个数为2 当时,(x)=g(x)的实数解的个数为3 当时,(x)=g(x)的实数解的个数为2 当时,(x)=g(x)的实数解的个数为1 综上所述,或,(x)=g(x)的实数解的个数为1,当,(x)=g(x)的实数解的个数为2,当F'(x)=g(x)的实数解的个数为1; 10分 (Ⅲ)(x)=若存在实数m∈[-2,2],使得函数F(x)在(a,b)上为“凹函数”,则在(a,b)上(x)>0恒成立 (x),的对称轴为 的两根为, 则, m∈[-2,2] 的最大值为,故,从而b-a最大值为 12分 |
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