Question

据报道：日本明治公司生产销售的“明治STEP”奶粉中检测出每千克奶粉中含30.8贝克勒尔的放射性核素铯．若某袋“明治STEP”奶粉中含a贝克勒尔的放射性核素铯，铯按每年10%衰减．
（1）求x年后，这袋“明治STEP”奶粉中放射性元素铯的含量M的表达式；
（2）由求出的函数表达式M（x），求这种放射性元素铯的半衰期T（T剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期）．（精确到1年．已知lg2=0.301 0，lg3=0.4771）

Answer 1

分析：（1）由已知中铯按每年10%衰减，某袋“明治STEP”奶粉中含a贝克勒尔的放射性核素铯，构造指数型函数，可得x年后，这袋“明治STEP”奶粉中放射性元素铯的含量M的表达式．
（2）当T剩留量为原来的一半时，根据一中函数的解析式，可得0.9^x=0.5，利用换底公式，解指数方程可得答案．

解答：解：（1）由题意得：M（x）=a（1-0.1）^x=a×0.9^x（x≥0），…（4分）
（2）M(x)=a(1-0.1)x=a×0.9x=

1

2

a，
∴0.9^x=0.5，…（6分）
∵0.9^x=0.5，
∴x=log0.90.5=

lg 1 2

lg 9 10

=

-lg2

2lg3-1

=

-2×0.301

2×0.4771-1

≈7（年）
答：放射性元素铯的半衰期约为7年．，…（10分）

点评：本题考查的知识点是指数函数，函数的应用熟练掌握指数式与对数式之间的转化及对数的运算性质是解答的关键．