题目内容

如图，G是△ABC的重心，求证： $数学公式$ + $数学公式$ + $数学公式$ = $数学公式$

证明：如图（3），以向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为邻边作平行四边形BGCE，则 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ．
又因为点G为△ABC的重心，
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，从而 $\text{[math]}$ =-2 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =-2 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
图（3）

分析：如图（1）

要证 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，只需证 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即只需证 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为相反的向量．
如图（2）

由三角形的重心G，构造平行四边形BGCE，得对角线AC，GE；易得出 $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
所以， $\text{[math]}$ 即证．
点评：向量的加法可以用几何法进行．正确理解向量的各种运算的几何意义，能进一步加深对“向量”的认识，并能体会用向量处理问题的优越性．