题目内容

已知向量 $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ （k为常数，e是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，F（x）=xe^xf′（x）．
（Ⅰ）求k的值及F（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知函数g（x）=-x²+2ax（a为正实数），若对于任意x₂∈[0，1]，总存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁），求实数a的取值范围．

解：（I）由已知可得：f（x）= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
由已知， $\text{[math]}$ ，
∴k=1…（2分）
∴F（x）=xe^xf'（x）= $\text{[math]}$ ，
所以F'（x）=-lnx-2…（3分）
由 $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$
∴F（x）的增区间为 $\text{[math]}$ ，减区间为 $\text{[math]}$ …（5分）
（II）∵对于任意x₂∈[0，1]，总存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁），
∴g（x）_max＜F（x）_max…（6分）
由（I）知，当 $\text{[math]}$ 时，F（x）取得最大值 $\text{[math]}$ ．…（8分）
对于g（x）=-x²+2ax，其对称轴为x=a
当0＜a≤1时， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，从而0＜a≤1…（10分）
当a＞1时，g（x）_max=g（1）=2a-1，
∴ $\text{[math]}$ ，从而 $\text{[math]}$ …（12分）
综上可知： $\text{[math]}$ …（13分）
分析：（I）利用向量平行的条件求出函数y=f（x），再求出此函数的导函数，函数在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，说明f^′（1）=0，则k值可求；从而得出F（x）的解析式，求出函数F（x）的定义域，然后让导函数等于0求出极值点，借助于导函数在各区间内的符号求函数F（x）的单调区间．
（II）对于任意x₂∈[0，1]，总存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁），等价于g（x）_max＜F（x）_max，再求得F（x）取得最大值；利用二次函数的图象，对a进行分类讨论，得出g（x）在[0，1]上的最大值，由g（x）在[0，1]上的最大值小于F（x）_max得a的范围，结合分类时a的范围得a的取值范围．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值，属于难题．