题目内容
规定Axm=x（x-1）…（x-m+1），其中x∈R，m为正整数，且Ax0=1，这是排列数Anm（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．（1）求A-153的值；
（2）排列数的两个性质：①Anm=nAn-1m-1，②Anm+mAnm-1=An+1m．（其中m，n是正整数）是否都能推广到Axm（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；
（3）确定函数Ax3的单调区间．
分析：（1）根据Axm=x（x-1）…（x-m+1），其中x∈R，m为正整数，写出A-153的表示式，再做出结果，做法同一般的排列数相同．
（2）首先写出推广以后的性质，Axm=xAx-1m-1，②Axm+mAxm-1=Ax+1m（x∈R，m∈N+），针对于这两个式子进行证明，根据排列数的意义，写出要证明的等式的左边和右边，整理后两边相等．
（3）要求函数Ax3的单调区间，写出排列数的表示形式，是一个三次函数，需要对这个函数求导，令导函数大于零，得到函数的增区间，令导函数小于零，得到函数的减区间．
（2）首先写出推广以后的性质，Axm=xAx-1m-1，②Axm+mAxm-1=Ax+1m（x∈R，m∈N+），针对于这两个式子进行证明，根据排列数的意义，写出要证明的等式的左边和右边，整理后两边相等．
（3）要求函数Ax3的单调区间，写出排列数的表示形式，是一个三次函数，需要对这个函数求导，令导函数大于零，得到函数的增区间，令导函数小于零，得到函数的减区间．
解答：解：（1）A-153=（-15）（-16）（-17）=-4080；
（2）性质①、②均可推广，推广的形式分别是：
①Axm=xAx-1m-1，②Axm+mAxm-1=Ax+1m（x∈R，m∈N+）
事实上，在①中，当m=1时，左边=Ax1=x，右边=xAx-10=x，等式成立；
当m≥2时，左边=x（x-1）（x-2）（x-m+1）=x[（x-1）（x-2）（（x-1）-（m-1）+1）]=xAx-1m-1，
因此，①Axm=xAx-1m-1成立；
在②中，当m=1时，左边=Ax1+Ax0=x+1=Ax+11=右边，等式成立；
当m≥2时，
左边=x（x-1）（x-2）（x-m+1）+mx（x-1）（x-2）（x-m+2）
=x（x-1）（x-2）（x-m+2）[（x-m+1）+m]=（x+1）x（x-1）（x-2）[（x+1）-m+1]=Ax+1m=右边，
因此②Axm+mAxm-1=Ax+1m（x∈R，m∈N+）成立．
（3）先求导数，得（Ax3）/=3x2-6x+2．
令3x2-6x+2＞0，解得x＜
或x＞
．
因此，当x∈(-∞，
)时，函数为增函数，
当x∈(
，+∞)时，函数也为增函数．
令3x2-6x+2＜0，解得
＜x＜
．
因此，当x∈(
，
)时，函数为减函数．
∴函数Ax3的增区间为(-∞，
)，(
，+∞)
函数Ax3的减区间为(
，
)
（2）性质①、②均可推广，推广的形式分别是：
①Axm=xAx-1m-1，②Axm+mAxm-1=Ax+1m（x∈R，m∈N+）
事实上，在①中，当m=1时，左边=Ax1=x，右边=xAx-10=x，等式成立；
当m≥2时，左边=x（x-1）（x-2）（x-m+1）=x[（x-1）（x-2）（（x-1）-（m-1）+1）]=xAx-1m-1，
因此，①Axm=xAx-1m-1成立；
在②中，当m=1时，左边=Ax1+Ax0=x+1=Ax+11=右边，等式成立；
当m≥2时，
左边=x（x-1）（x-2）（x-m+1）+mx（x-1）（x-2）（x-m+2）
=x（x-1）（x-2）（x-m+2）[（x-m+1）+m]=（x+1）x（x-1）（x-2）[（x+1）-m+1]=Ax+1m=右边，
因此②Axm+mAxm-1=Ax+1m（x∈R，m∈N+）成立．
（3）先求导数，得（Ax3）/=3x2-6x+2．
令3x2-6x+2＞0，解得x＜
3-
| ||
| 3 |
3+
| ||
| 3 |
因此，当x∈(-∞，
3-
| ||
| 3 |
当x∈(
3+
| ||
| 3 |
令3x2-6x+2＜0，解得
3-
| ||
| 3 |
3+
| ||
| 3 |
因此，当x∈(
3-
| ||
| 3 |
3+
| ||
| 3 |
∴函数Ax3的增区间为(-∞，
3-
| ||
| 3 |
3+
| ||
| 3 |
函数Ax3的减区间为(
3-
| ||
| 3 |
3+
| ||
| 3 |
点评：本题考查排列数公式，考查新定义问题，考查对于等式的证明，考查利用导函数求函数的单调区间，考查解决问题的能力和运算能力，是一个综合题目．
练习册系列答案
相关题目
．
在区间（m，m+1）内有且只有两个不等实根？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．