Question

有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面的概率都是

1

2

，棋盘上标有第0站，第1站，…，第100站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站（从n到n+1），若掷出反面，棋子向前跳两站（从n到n+2），直到棋子跳到第99站（胜利大本营），或跳到第100站（失败集中营）时该游戏结束，设棋子跳到第n站的概率为P（n）；
（1）求P（1），P（2）；
（2）求证：数列{P（n）-P（n-1）}是等比数列（n∈N^﹡，n≤99）；
（3）求P（99）及P（100）的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，则P（1）即棋子跳到第一站，有一种情况，即掷出正面，进而可得答案，P（2）即棋子跳到第2站，有2种情况，即两次掷出正面或一次掷出反面，即可得答案；
（2）根据题意，棋子要到第n站，有两种情况，由第（n-1）站跳到，即第（n-1）站时掷出正面，或由第（n-2）站跳到，即第（n-2）站时掷出反面，进而可得P（n）=

1

2

P（n-1）+

1

2

P（n-2）；变形可得P（n）-P（n-1）=-

1

2

[P（n-1）-P（n-2）]，由等比数列的判断方法即可证明；
（3）结合（1）（2）可得，P（n）=[P（n）-P（n-1）]+[P（n）-P（n-1）]+[P（n-1）-P（n-2）]+…+[P（2）-P（1）]+P（1），进而可得P（n）的表达式，代入数字，可得答案．

解答：解：（1）根据题意，棋子跳到第n站的概率为P（n），
则P（1）即棋子跳到第一站，有一种情况，即掷出正面，故P（1）=

1

2

，
则P（2）即棋子跳到第2站，有2种情况，即两次掷出正面或一次掷出反面，则P（2）=

1

2

×

1

2

+

1

2

=

3

4

，
（2）根据题意，棋子要到第n站，有两种情况，（2≤n≤99）
①由第（n-1）站跳到，即第（n-1）站时掷出正面，其概率为

1

2

P（n-1），
②由第（n-2）站跳到，即第（n-2）站时掷出反面，其概率为

1

2

P（n-2），
则P（n）=

1

2

P（n-1）+

1

2

P（n-2），
进而可得P（n）-P（n-1）=-

1

2

[P（n-1）-P（n-2）]，（2≤n≤99，n∈N），
故数列{P（n）-P（n-1）}是等比数列，
（3）由（1）可得，P（2）-P（1）=

1

4

，
由（2）可得，{P（n）-P（n-1）}是公比为-

1

2

的等比数列，
进而可得：P（n）=[P（n）-P（n-1）]+[P（n）-P（n-1）]+[P（n-1）-P（n-2）]+…+[P（2）-P（1）]+P（1）
=

1

6

[1-（-

1

2

）ⁿ]+

1

2

，
故P（99）=

1

3

[2-（

1

2

）⁹⁹]；
P（100）=

1

3

[1+（

1

2

）⁹⁹]．

点评：本题考查相互独立事件的概率乘法公式与等比数列的判定及应用，有一定难度，是高考的方向，平时注意这方面的训练．