题目内容

已知点M,N分别在直线y=mx和y=-mx(m>0)上运动,点P是线段MN的中点,且|MN|=2,动点P的轨迹是曲线C.
(1)求曲线C的方程,并讨论方程所表示的曲线类型;
(2)设m=时,过点A(-,0)的直线l与曲线C恰有一个公共点,求直线l的斜率.
【答案】分析:(1)设出动点的坐标,利用点P是线段MN的中点,且|MN|=2,可得曲线C的方程;对参数分类讨论,即可得到所表示的曲线;
(2)将直线方程与椭圆方程联立,利用过点A(-,0)的直线l与曲线C恰有一个公共点,可得判别式等于0,结论方程,即可求得直线l的斜率.
解答:解:(1)设P(x,y),M(x1,mx1),N(x2,-mx2),
依题意得
消去x1,x2,整理得
当m>1时,方程表示焦点在y轴上的椭圆,
当0<m<1时,方程表示焦点在x轴上的椭圆,
当m=1时,方程表示圆.
(2)当m=时,方程为
设直线l的方程为y=k(x+),与椭圆方程联立
消去y得(1+4k2)x2+k2x+-2=0,
根据已知可得△=0,
故有(k22-4(1+4k2)(-2)=0,k2=
∴直线l的斜率为k=±
点评:本题考查轨迹方程的求解,考查曲线与方程之间的联系,考查直线与椭圆的位置关系,解题的关键是将直线方程与椭圆方程联立,利用判别式求解.
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