Question

已知球O的半径是R，A、B、C是球面上三点，且A与B、A与C、B与C的球面距离分别为

π

2

R，

π

2

R，

π

3

R，则四面体OABC的体积为（　　）

• A．

  3

  12

  R3
• B．

  3

  4

  R3
• C．

  2

  12

  R3
• D．

  2

  4

  R3

Answer 1

分析：根据题意可知：球心O与A，B，C三点构成三棱锥O-ABC，且OA=OB=OC=R，∠AOB=∠AOC=90°，∠BOC=60°，故AO⊥面BOC．所以此题可以A为顶点根据体积公式求得三棱锥O-ABC的体积．

解答：解：球心O与A，B，C三点构成三棱锥O-ABC，如图所示，
已知A与B、A与C、B与C的球面距离分别为

π

2

R，

π

2

R，

π

3

R，
OA=OB=OC=R，
∴∠AOB=

AB

OA

=

π

2

=90°，
∴同样可得∠AOB=∠AOC=90°，∠BOC=60°，
由此可得AO⊥面BOC．
∵S△BOC=

1

2

R×

3

2

R=

3

4

R²．
∴由V_O-ABC=V_A-BOC=

1

3

×

3

4

R²×R=

3

12

R3．
故选A．

点评：本题考查求三棱锥的体积，解题过程中用到了换顶点的技巧，换顶点的目的是为了更方便用体积公式求值，立体几何中求体积时注意使用这一技巧．