题目内容

如图,F为双曲线C:=1(a＞0,b＞0)的右焦点,P为双曲线C右支上一点,且位于x轴上方,M为左准线（左准线x=,右准线为x=)上一点,O为坐标原点.已知四边形OFPM为平行四边形,|PF|=λ|OF|.

(1)写出双曲线C的离心率e与λ的关系式；

(2)当λ=1时,经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B两点,若|AB|=12,求此时的双曲线方程.

解:(1)∵四边形OFPM是平行四边形，∴｜OF｜=｜PM｜=c，作右准线交PM于H，

则｜PM｜=｜PH｜+2,又e===,e2-λe-2=0.

(2)当λ=1时，e=2,c=2a,b2=3a2,∴双曲线方程为=1.

设P(x0,y0),则由｜OF｜=｜PM｜,得x0+=c;x0=a;y0=a.∴直线OP的斜率为.

则直线AB的方程为y=(x-2a),代入双曲线方程得4x2+20ax-29a2=0,

又｜AB｜=12，由｜AB｜=,得12=,

解得a2=1,b2=3,∴双曲线方程为x2=1.

练习册系列答案
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精英家教网如图，F为双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右焦点．P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点．已知四边形OFPM为平行四边形，|PF|=λ|OF|．
（Ⅰ）写出双曲线C的离心率e与λ的关系式；
（Ⅱ）当λ=1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若|AB|=12，求此时的双曲线方程．
（2008•广州二模）如图所示，F为双曲线C：
x2
9
-
y2
16
=1的左焦点，双曲线C上的点Pi与P7-i（i=1，2，3）关于y轴对称，则|P1F|+|P2F|+|P3F|-|P4F|-|P5F|-|P6F|的值是（　　）
如图，F为双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右焦点，P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点，已知四边形OFPM为平行四形，|
PF
|=λ|
OF
|．写出双曲线C的离心率e与λ的关系式．
如图点F为双曲线C的左焦点，左准线l交x轴于点Q，点P是l上的一点|PQ|=|FQ|=1，且线段PF的中点M在双曲线C的左支上．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若过点F的直线m与双曲线C的左右两支分别交于A、B两点，设
FB
=λ
FA
，当λ∈[6，+∞）时，求直线m的斜率k的取值范围．

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