题目内容

某个QQ群中有n名同学在玩一个数字哈哈镜游戏，这些同学依次编号为1，2，…，n．在哈哈镜中，
每个同学看到的像用数对（p，q）（p＜q）表示，规则如下：若编号为k的同学看到像为（p，q），则编号为k+1的同学看到像为（q，r），且q-p=k（p，q，r∈N*）．已知编号为1的同学看到的像为（5，6）．
（Ⅰ）请根据以上规律分别写出编号为2和3的同学看到的像；
（Ⅱ）求编号为n的同学看到的像．
分析：（Ⅰ）由题意规律，编号为2的同学看到的像是（6，8）；编号为3的同学看到的像是（8，11）．
（Ⅱ）设编号为n的同学看到的像是（bn，an），则b1=5，a1=6，当n≥2时，bn=an-1．由此结合题意可知编号为n的同学看到的像是(
n2-n+10
2
， 
n2+n+10
2
)．
解答：解：（Ⅰ）由题意规律，编号为2的同学看到的像是（6，8）；
编号为3的同学看到的像是（8，11）．
（Ⅱ）设编号为n的同学看到的像是（bn，an），则b1=5，a1=6，
当n≥2时，bn=an-1．
由题意an-bn=n，∴an-an-1=n（n≥2）．
∴an-a1=（a2-a1）+（a3-a2）++（an-an-1）=2+3++n=
(n-1)(2+n)
2
．
an=
(n-1)(2+n)
2
 +6=
n2+n+10
2
，bn=an-n=
n2-n+10
2
．
经检验n=1时，上式也成立．
∴编号为n的同学看到的像是(
n2-n+10
2
， 
n2+n+10
2
)．
点评：本题考查数列的性质及其应用，解题时要注意归纳能力的培养．
练习册系列答案
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在某个QQ群中有n名同学在玩一种叫“数字哈哈镜”的游戏．这些同学编号依次为1，2，3，…．，n..在哈哈镜中，每个同学看到的像用数对（p，q）表示．规则如下：编号为k的同学看到的像为（ak，ak+1），且满足ak+1-ak=k（k∈N*），已知编号为1的同学看到的像为（5，6），则编号为4的同学看到的像为
（11，15）
（11，15）
；某位同学看到的像为（195，q），其中q的值被遮住了，请你帮这位同学猜出q=
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．
某个QQ群中有n名同学在玩一个数字哈哈镜游戏，这些同学依次编号为1，2，…，n．在哈哈镜中，每个同学看到的像用数对（p，q）（p＜q）表示，规则如下：若编号为k的同学看到像为（p，q），则编号为k+1的同学看到像为（q，r），且q-p=k（p，q，r∈N*）．已知编号为1的同学看到的像为（5，6），则编号为n的同学看到的像为
(
n2-n+10
2
，
n2+n+10
2
)
(
n2-n+10
2
，
n2+n+10
2
)
．
（2011•上海模拟）某个QQ群中有n名同学在玩一个数字哈哈镜游戏，这些同学依次编号为1，2，3，…，n．在哈哈镜中，每个同学看到的像用数对（p，q）（p＜q）表示，规则如下：若编号为k的同学看到像为（p，q），则编号为k+1的同学看到像为（q，r），且q-p=k（p，q，r∈N*）．已知编号为1的同学看到的像为（5，6）．请根据以上规律，编号为3和n的同学看到的像分别是（　　）
某个QQ群中有n名同学在玩一种叫“数字哈哈镜”的游戏，这些同学依次编号为：1，2，3，…，n．在哈哈镜中，每个同学看到的像用数对（p，q）表示，规则如下：编号为k的同学看到的像为（ak，ak+1），且满足ak+1-ak=k（k∈N*），已知编号为1的同学看到的像为（5，6），则编号为5的同学看到的像是
（15，20）
（15，20）
．

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