Question

【题目】已知数列{an}的首项为2，前n项和为Sn ， 且 ﹣ = （n∈N*）．
（1）求a2的值；
（2）设bn= ，求数列{bn}的通项公式；
（3）若am ， ap ， ar（m，p，r∈N* ， m＜p＜r）成等比数列，试比较p2与mr的大小，并证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1=2，且 ﹣ = （n∈N*）．∴ = ，解得a2=
（2）解：由 ﹣ = （n∈N*），可得：4Sn﹣1= ，

当n≥2时，4Sn﹣1﹣1= ，

相减可得：4an= ﹣ ，an≠0，

可得： ﹣ =2，变形为 ﹣ =2，

化为： ﹣ =1，

∴bn﹣bn﹣1=1，

∴数列{bn}是等差数列，首项为 = ，公差为1．

∴bn= +（n﹣1）=

（3）解：由（2）可得： = ，化为： = ．

∴an= × ×…× × ×a1= × ×…× × ×2= ．n=1时也成立．

∴an= ．

∵am，ap，ar（m，p，r∈N*，m＜p＜r）成等比数列，

∴ =amar，

∴ = × ，

化为：（4p﹣1）2=（4m﹣1）（4r﹣1），

∴（4p﹣1）2=16mr﹣4（m+r）+1≤16mr﹣8 +1= ，

∴4p﹣1≤4 ﹣1，

可得p2≤mr，等号不成立，因此p2＜mr

【解析】（1）由a1=2，且 ﹣ = （n∈N*）．n=1时可得： = ，解得a2 ． （2）由 ﹣ = （n∈N*），可得：4Sn﹣1= ，当n≥2时，利用递推关系可得： ﹣ =2，化为： ﹣ =1，即bn﹣bn﹣1=1，利用等差数列的通项公式即可得出．（3）由（2）可得： = ，化为： = ．利用“累乘求积”可得：an= ．由am ， ap ， ar（m，p，r∈N* ， m＜p＜r）成等比数列，可得 = × ，（4p﹣1）2=16mr﹣4（m+r）+1，再利用基本不等式的性质即可得出．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等比数列的通项公式（及其变式）(通项公式：)，还要掌握数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式)的相关知识才是答题的关键．