题目内容
设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合：“① 方程f(x)-x=0有实数根；② 函数f(x)的导数
(x)满足0＜
(x)＜1”.(Ⅰ)判断函数f(x)=
是否是集合M中的元素，并说明理由；
(Ⅱ )集合M中的元素f(x)具有下面的性质：“若f(x)的定义域为D，则对于任意[m，n]
D，都存在x0∈ [m，n]，使得等式f(n)-f(m)=(n-m)
(x0)成立”，试用这一性质证明：方程f(x)-x=0只有一个实数根；
(Ⅲ)设x1是方程f(x)-x=0的实数根，求证：对于f(x)定义域中任意的x2，x3,当
，且
时，
.
解：(Ⅰ)因为f(x)=cosx，
所以(x)∈[,]，满足条件0＜(x)＜1，
又因为当x=0时，f(0)=0，所以方程f(x)-x=0有实数根0.
所以函数f(x)=是集合M中的元素.
(Ⅱ)假设方程f(x)-x=0存在两个实数根α,β(α≠β)，
则f(α)-α=0，f(β)-β=0，
不妨设α＜β，根据题意存在实数c∈(α,β)，
使得等式f(β)-f(α)=(β-α)(c)成立，
因为f(α)=α，f(β)=β，且α≠β,所以(c)=1，
与已知0＜
(x)＜1矛盾，所以方程f(x)-x=0只有一个实数根；
(Ⅲ)不妨设x2＜x3，因为
(x)＞0，
所以f(x)为增函数，所以f(x2)＜f(x3)，
又因为
(x)-1＜0，所以函数f(x)-x为减函数，
所以f(x2)-x2＞f(x3)-x3，
所以0＜f(x3)-f(x2)＜x3-x2，即|f(x3)-f(x2)|＜|x3-x2|，
所以|f(x3)-f(x2)|＜|x3-x2|=|x3-x1-(x2-x1)|≤|x3-x1|+|x2-x1|＜2.
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