题目内容

在某服装批发市场,季节性服装当季节即将来临时,价格呈现上升趋势,设某服装开始时定价10元,并且每周(7天)涨价2元,5周后开始保持20元的价格平稳销售,10周后,当季节即将过去时,平均每周削价2元,直到16周末,该服装已不再销售.
(1)试求价格p(元)与周次t之间的函数关系式;
(2)若此服装每周进价q(元)与周次t之间的关系是q=-
18
(t-8)2+12
,t∈[1,16]且t∈N,试问该服装第几周每件销售利润最大.
分析:(1)直接由一次函数和常数函数关系列出价格p(元)与周次t之间的函数关系式;
(2)分段由p-q得到销售此服装的利润y与周次t的关系式,然后利用二次函数和一次函数的单调性分段求最大值,最后取三段中最大值的最大者.
解答:解:(1)由题意可得p=
10+2t(1≤t≤5且t∈N)
20       (6≤t≤10且t∈N)
40-2t(11≤t≤16且t∈N)

(2)设销售此服装每件的利润为y(元),
y=p-q=
1
8
t2+6  (1≤t≤5且t∈N)
1
8
(t-8)2+8(6≤t≤10且t∈N)
1
8
t2-4t+46(11≤t≤16且t∈N)

当1≤t≤5且t∈N时,有t=5时,ymax=
73
8

当6≤t≤10且t∈N时,有t=6或t=10时,ymax=
17
2

当11≤t≤16且t∈N时,有t=11时,ymax=
57
8

综上:t=5时,ymax=
73
8

答:第5周时,每件销售利润最大为
73
8
元.
点评:本题考查了函数模型的选择与应用,考查了分段函数的最值的求法,训练了利用函数的单调性求函数的最值,是中档题.
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