Question

已知几何体A-BCED的三视图、直观图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
（1）求此几何体A-BCED的体积V的大小；
（2）求二面角A-ED-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由三视图可知，AC=BC=CE=4，BD=2，且AC、BC、CE两两互相垂直．代入棱锥体积公式，可得答案．
（2）过C作CG⊥DE交DE于G，连AG．可得∠AGC为二面角A-ED-B的平面角，解△ACG可得答案
（2）坐标法：分别求出平面BDE的一个法向量和平面ADE的一个法向量，代入向量夹角公式，可得二面角A-ED-B的余弦值．

解答：解：（1）由三视图可知，AC=BC=CE=4，BD=2，
且AC、BC、CE两两互相垂直．
∴几何体A-BCED的体积
V=

1

3

•SBCED•AC=16（6分）
（2）AC⊥平面BCE，
过C作CG⊥DE交DE于G，连AG．
可得DE⊥平面ACG，从而AG⊥DE
∴∠AGC为二面角A-ED-B的平面角． （10分）
在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，CG=

8 5

5

，
∴AG=

42+( 8 5 5 )2

=

12

5

5

．
∴cos∠AGC=

CG

AG

=

2

3

．
∴二面角A-ED-B的余弦值为

2

3

． （14分）
方法二：（坐标法）
（2）平面BDE的一个法向量为

CA

=(4，0，0)，（8分）
设平面ADE的一个法向量为

n

=(x，y，z)，

n

⊥

AD

，

n

⊥

DE

，
∵

AD

=(-4，4，2)，

DE

=(0，-4，2)，
∴

n

•

AD

=0，

n

•

DE

=0
从而-4x+4y+2z=0，-4y+2z=0，
令y=1，则

n

=(2，1，2)，（12分）
显然二面角A-ED-B是锐二面角，设其平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

CA

，

n

＞|=

2

3

∴二面角A-ED-B的余弦值为

2

3

．（14分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，棱锥的体积公式，根据三视图判断出几何体的形状及棱长是解答（1）的关键，（2）中求二面角思路有几何法：求出二面角的平面角，将求空间角转化为解三角形问题，向量法：构造空间直角坐标系，将二面角问题转化为法向量夹角问题．