Question

已知函数f（x）bx³+ax²-3x
（1）若f（x）在x=1和x=3处取得极值，求a，b的值；
（2）若f（x）为实数集R上的单调函数，且b≥-1，设点P的坐标为（a，b），试求出点P的轨迹所形成的图形的面积S．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的导函数，然后利用f（x）在x=1和x=3处取得极值是导函数方程的两个根，建立方程组，解之即可；
（2）根据函数的单调性转化成f′（x）≥0恒成立或者f′（x）≤0恒成立，然后建立关系式，最后利用定积分表示出所围成图形的面积即可．

解答：解：（1）f（x）=bx³+ax²-3x，f′（x）=3bx²+2ax-3
∵f（x）在x=1和x=3处取得极值
∴x=1和x=3是f′（x）=3bx²+2ax-3=0的两个根
代入方程解之得a=2，b=-

1

3

（2）当b=0时，由f（x）在R上单调知a=0
当b≠0时，由f（x）在R上单调⇒f′（x）≥0恒成立或者f′（x）≤0恒成立
f′（x）=3bx²+2ax-3∴△=4a²+36b≤0可得b≤-

1

9

a²
∴面积S=

∫

3 -3

(1-

1

9

x2)dx=4

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值以及单调性，同时考查了利用定积分求围成图形的面积，考查的知识点较多，属于中档题．