Question

如图，这是一个计算机装置示意图，A、B是数据入口处，C是计算机结果的出口，计算过程是由A、B分别输入自然数m和n，经过计算后，得自然数k，由C输出．即：f（m，n）=k，此种计算装置完成计算，满足以下三个性质：①若A、B分别输入1，则输出结果为1，即f（1，1）=1；②若A输入自然数m，B输入自然数由n变为n+1，则输出结果比原来增大2，即f（m，n+1）=f（m，n）+2；③若B输入1，A输入自然数由m变为m+1，则输出结果是原来的2倍，即f（m+1，1）=2f（m，1）．
以下三个计算：
（1）若A输入1，B输入自然数5，则输出结果为9
（2）若B输入1，A输入自然数5，则输出结果为16
（3）若A输入5，B输入自然数6，则输出结果为26
正确的结果有（　　）

A．3个

B．2个

C．个

D．0个

Answer 1

分析：根据题意，将{f（m+1，1）}可以视为等比数列，有f（m，1）=f（1，1）2^m-1=2^m-1，将{f（m，n+1）}可以视为等差数列，有f（m，n+1）=f（m，1）+2（n-1）；据此分析所给的计算，对于（1）、即求f（1，5）的值，分析可得f（1，5）=f（1，1）+2（5-1）=9，对于（2）、即求f（5，1）的值，有f（5，1）=2⁴=16，对于（3）、即求f（5，6）的值，先由（2）可得f（5，1）=16，进而分析可得f（5，6）=f（5，1）+2（6-1）=26，即可得3个计算都正确；即可得答案．

解答：解：根据题意，
f（m+1，1）=2f（m，1），则n=1时，{f（m+1，1）}可以视为等比数列，其首项为1，公比为2，即有f（m，1）=f（1，1）2^m-1=2^m-1，
f（m，n+1）=f（m，n）+2，则当m为定值时，{f（m，n+1）}可以视为等差数列，其首项为f（m，1），公差为2，即有f（m，n+1）=f（m，1）+2（n-1），
分析题干所给的计算可得，
对于（1）、若A输入1，B输入自然数5，即求f（1，5）的值，有f（1，5）=f（1，1）+2（5-1）=9，（1）正确；
对于（2）、若B输入1，A输入自然数5，即求f（5，1）的值，有f（5，1）=2⁴=16，（2）正确；
对于（3）、若A输入5，B输入自然数6，即求f（5，6）的值，
由（2）可得，f（5，1）=2⁴=16，
则f（5，6）=f（5，1）+2（6-1）=26，（3）正确；
即这3个计算全部正确；
故选A．

点评：本题考查数列的应用，关键是根据题意，分析f（m，n+1）=f（m，n）+2与f（m+1，1）=2f（m，1）的含义，与等比、等差数列的通项公式相结合来解题．