Question

（1）已知|z₁|=|z₂|=|z₁-z₂|=1，求|z₁+z₂|的值；
（2）设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求

.

z

．

Answer 1

分析：（1）根据要求复数的和的模长，对所求的结果平方，根据平方后|z₁|与|z₂|与|z₁-z₂|与|z₁+z₂|四者之间的关系，把要求的结果，变化为已知条件，求出结果．
（2）设出z复数的式子，根据两个复数的乘积是一个纯虚数，得到a和b之间的关系，根据模长是1，又得到一个关系，根据列出的方程组求a和b的值，得到复数z，写出共轭复数．

解答：解：（1）|z1+z2|2=2(|z1|2+|z2|2)-|z1-z2|2=3，|z1+z2|=

3

（2）设z=a+bi，（3+4i）•z=（3+4i）（a+bi）=3a-4b+（4a+3b）i是纯虚数，
则3a-4b=0

a2+b2 =1 3a-4b=0

?

a= 4 5 b= 3 5

，或

a=- 4 5 b=- 3 5

，

.

z

=

4

5

-

3

5

i，或-

4

5

+

3

5

i

点评：本题考查复数的模长的运算，考查共轭复数，考查复数的代数形式的乘法运算，是一个综合题，本题第一问所用的方法比较灵活．