Question

设α=

∫

π 0

（sinx+cosx）dx，则二项式（α

x

-

1

x

）⁶展开式中不含x²项的系数和是（　　）

A．-192

B．193

C．-6

D．7

Answer 1

分析：由α=

∫

π 0

（sinx+cosx）dx可求得α=2．又由二项式定理知道二项式(α

x

-

1

x

)6展开式中所有项的系数和是（α-1）⁶，且可求含x²项的系数，继而求出二项式（α

x

-

1

x

）⁶展开式中不含x²项的系数和．

解答：解：由于α=

∫

π 0

（sinx+cosx）dx=(-cosx+sinx)

|

π 0

=-cosπ-(-cos0)=2，则α=2，
又由于二项式（2

x

-

1

x

）⁶展开式的通项是Tk+1=

C

k 6

•(2

x

)6-k•(-

1

x

)k=(-1)k26-k•

C

k 6

•(

x

)6-2k，
则含x²的项是第二项，即是T1+1=(-1)1•26-1•

C

1 6

•(

x

)6-2×1=-192•x²，
而二项式（2

x

-

1

x

）⁶展开式所有项的系数和是(2×1-

1

1

)6=1，
所以二项式（α

x

-

1

x

）⁶展开式中不含x²项的系数和是1-（-192）=193．
故答案选B．

点评：本题考查定积分与二项式系数的性质，属于基础题．注意sinx=（-cosx）'，cosx=（sinx）'，(a+b)n=

C

0 n

an+

C

1 n

an-1b+…+

C

n n

bn．