题目内容

下列命题中:
①函数的最小值是
②对于任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)且x>0时,f′(x)>0,g′(x)>0,则x<0时,f′(x)>g′(x);
③如果y=f(x)是可导函数,则f′(x)=0是函数y=f(x)在x=x处取到极值的必要不充分条件;
④已知存在实数x使得不等式|x+1|-|x-1|≤a成立,则实数a的取值范围是a≥2.
其中正确的命题是   
【答案】分析:①利用基本不等式判断.②利用奇偶函数的性质判断.③利用导数与函数的极值之间的关系进行判断.④利用绝对值的几何意义判断.
解答:解:①因为,当且仅当取等号,但,所以f(x)的最小值不是,所以①错误.
②由题意知函数f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,当x>0时,函数f(x)为增函数,g(x)为增函数,则当x<0时,函数f(x)为增函数所以f′(x)>0,g(x)为减函数,所以g′(x)<0,所以f′(x)>g′(x)成立,所以②正确.
③对应可导函数y=f(x),若y=f(x)在x=x处取到极值,则必有f′(x)=0.但当f′(x)=0,则函数在x=x处不一定取到极值,比如函数f(x)=x3单调递增,函数的导数为f'(x)=2x2,当x=0时,f′(x)=0,所以f′(x)=0是函数y=f(x)在x=x处取到极值的必要不充分条件,所以③正确.
④因为根据绝对值的几何意义得|x+1|-|x-1|≤2,所以要使存在实数x使得不等式|x+1|-|x-1|≤a成立,则a≤2,所以④错误.
故答案为:②③.
点评:本题主要考查了命题的真假判断,牵扯的知识点较多,综合性较强.要求熟练掌握相关的知识.
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