Question

设等比数列{a_n}满足：S_n=2ⁿ+a（n∈N₊）．
（I）求数列{a_n}的通项公式，并求最小的自然数n，使a_n＞2010；
（II）数列{b_n}的通项公式为b_n=-，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（I）当n=1时，a₁=2+a当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1（3分）
∵{a_n}为等比数列，
∴a₁=2+a=2^1-1=1，
∴a=-1
∴{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1（5分）
令2^n-1＞2010，又n∈N₊，
∴n≥12．
∴最小的自然数n=12（7分）
（II），①（9分）②
②-①得，
∴（14分）
分析：（I）a₁=2+a，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1，{a_n}为等比数列，能导出其通项公式为a_n=2^n-1．令2^n-1＞2010，又n∈N₊，由此能求出最小的自然数n=12．
（II），，再由错位相减法可求出T_n．
点评：本题考查数列的通项公式的求法和数列的求和，解题时要认真挖掘题设中的隐含条件，合理求解．