Question

（06年江苏卷）（14分）

设数列、、满足：，（n=1,2,3,…），证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,…）

Answer 1

解析：证明：必要性，设是{a_n}公差为d₁的等差数列，则

b_n+1b_n=(a_n+1a_n+3) (a_na_n+2)= (a_n+1a_n) (a_n+3a_n+2)= d₁ d₁=0

所以b_nb_n+1  ( n=1,2,3,…)成立。

又c_n+1c_n=(a_n+1a_n)+2 (a_n+2a_n+1)+3 (a_n+3a_n+2)= d₁+2 d₁ +3d₁ =6d₁(常数) ( n=1,2,3,…)

所以数列{c_n}为等差数列。

充分性： 设数列{c_n}是公差为d₂的等差数列，且b_nb_n+1  ( n=1,2,3,…)

∵c_n=a_n+2a_n+1+3a_n+2                                       ①

∴c_n+2=a_n+2+2a_n+3+3a_n+4                                                      ②        

①-②得c_nc_n+2=（a_na_n+2）+2 (a_n+1a_n+3)+3 (a_n+2a_n+4)=b_n+2b_n+1+3b_n+2

∵c_nc_n+2=( c_nc_n+1)+( c_n+1c_n+2)= 2 d₂                       

∴b_n+2b_n+1+3b_n+2=2 d₂                                                       ③    

从而有b_n+1+2b_n+2+3b_n+3=2 d₂                                              ④

④-③得（b_n+1b_n）+2 (b_n+2b_n+1)+3 (b_n+3b_n+2)=0               ⑤

∵b_n+1b_n≥0,            b_n+2b_n+1≥0 ,          b_n+3b_n+2≥0,

∴由⑤得b_n+1b_n=0  ( n=1,2,3,…)，

由此不妨设b_n=d₃ ( n=1,2,3,…)则a_na_n+2= d₃(常数).

由此c_n=a_n+2a_n+1+3a_n+2= c_n=4a_n+2a_n+13d₃

从而c_n+1=4a_n+1+2a_n+25d_{3  ，}

两式相减得c_n+1c_n=2₍ a_n+1a_n) 2d₃

因此(常数) ( n=1,2,3,…)

所以数列{a_n}公差等差数列。