题目内容

下列四个函数：①f(x)=-
1
x
②f（x）=|x+1|③f(x)=
1
2
(a-x-ax)(0＜a＜1)④y=ln|x|，则同时满足：f（-x）+f（x）=0且当x1、x2∈（0，+∞），都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0的函数个数为（　　）
分析：由条件可得，本题即判断所给的各个函数中，同时满足既是奇函数，又在（0，+∞）上是增函数的函数的个数．逐一检验各个选项中的函数，可得结论．
解答：解：由f（-x）+f（x）=0可得，函数f（x）是奇函数；再根据当x1、x2∈（0，+∞），都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，
可得函数在（0，+∞）上是增函数．
本题即判断所给的各个函数中，同时满足既是奇函数，又在（0，+∞）上是增函数的函数的个数．
对于函数：①f(x)=-
1
x
，显然满足既是奇函数又在（0，+∞）上是增函数的函数．
对于②f（x）=|x+1|，由于不是奇函数，故排除．
对于③f(x)=
1
2
(a-x-ax)(0＜a＜1)，显然满足既是奇函数，又在（0，+∞）上是增函数的函数．
杜宇④y=ln|x|，由于它是偶函数，故排除．
综上，只有①③满足条件，
故选B．
点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，体现了转化的数学思想，属于中档题．
练习册系列答案
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给定下列四个函数：①f（x）=sinx；②g（x）=x
1
2
；③h（x）=lgx；④r（x）=(
1
2
)x．对于其定义域内的任意x1，x2（x1≠x2），都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
成立的函数有
②③
②③
．（填上所有满足条件的函数的序号）
（2007•湛江二模）下列四个函数：
①f(x)=
1
x3
；
②f（x）=2x；
③f(x)=
x2-3(x＞0)
0(x=0)
-x2+3 (x＜0)
；
④f(x)=
x3
3
-x．
其中为奇函数的是
①③④（2分）
①③④（2分）
；在（1，+∞）上单调递增的函数是
②③④．（3分）
②③④．（3分）
（分别填写所有满足条件的函数序号）
（2012•潍坊二模）对于定义域为D的函数f（x），若存在区间M=[a，b]⊆D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的“等值区间”．给出下列四个函数：
①f（x）=2x；②f（x）=x3；③f（x）=sinx；④f（x）=log2x+1．
则存在“等值区间”的函数的个数是（　　）
若函数f（x）具有性质：f(
1
x
)=-f(x)，则称f（x）是满足“倒负”变换的函数．下列四个函数：
①f（x）=logax（a＞0且a≠1）；        
②f（x）=ax（a＞0且a≠1）；
③y=x-
1
x
；                      
 ④f(x)=
x   ，(0＜x＜1)
0，(x=1)
-
1
x
  ，(x＞1)
．
其中，满足“倒负”变换的所有函数的序号是
①③④
①③④
．
如果两个函数的图象经过平移后能够互相重合，那么称这两个函数是“互为生成”函数，给出下列四个函数：
①f(x)=
2
(sinx+cosx)；
②f（x）=sinx+cosx；
③f(x)=2
2
sinxcosx；
④f(x)=
2
sinx+1，
其中是“互为生成”函数的为（　　）
A、①和②B、②和③
C、①和④D、②和④

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