题目内容

在一定面积的水域中养殖某种鱼类，每个网箱的产量P是网箱个数x的一次函数，如果放置4个网箱，则每个网箱的产量为16吨；如果放置7个网箱，则每个网箱的产量为10吨，由于该水域面积限制，最多只能放置10个网箱．
（1）试问放置多少个网箱时，总产量Q最高？
（2）若鱼的市场价为m万元/吨，养殖的总成本为5lnx+1万元．
（i）当m=0.25时，应放置多少个网箱才能使总收益y最大？
（ii）当m≥0.25时，求使得收益y最高的所有可能的x值组成的集合．

解：（1）设p=ax+b，由已知得 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴p=-2x+24
∴Q=px=（-2x+24）x=-2（x-6）²+72（x∈N₊，x≤10）
∴当x=6时，f（x）最大
即放置6个网箱时，可使综产量达到最大
（2）总收益为y=f（x）=（-2x²+24x）m-（5lnx+1）（x∈N₊，x≤10）
（i）当m=0.25时，f（x）=（-2x²+24x）× $\text{[math]}$ -（5lnx+1）=- $\text{[math]}$ x²+6x-5lnx-1
∴f′（x）=- $\text{[math]}$
当1＜x＜5时，f′（x）＞0，当5＜x＜10时，f′（x）＜0，
∴x=5时，函数取得极大值，也是最大值
∴应放置5个网箱才能使总收益y最大；
（ii）当m≥0.25时，f（x）=（-2x²+24x）m-（5lnx+1）
∴f′（x）= $\text{[math]}$
令f′（x）=0，即-4mx²+24mx-5=0
∵m≥0.25，∴△=16m（36m-5）＞0
方程-4mx²+24mx-5=0的两根分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∵m≥0.25，∴x₁≤1，5≤x₂＜6
∴当x∈（1，x₂）时，f′（x）＞0，当x₂＜x＜10时，f′（x）＜0，
∴x=x₂时，函数取得极大值，也是最大值
∴使得收益y最高的所有可能的x值组成的集合为{5，6}．
分析：（1）设出一次函数，利用条件，求出函数解析式，即可求得总产量函数，再利用配方法，即可求得最大值；
（2）总收益为y=f（x）=（-2x²+24x）m-（5lnx+1）（x∈N₊，x≤10）
（i）当m=0.25时，f（x）=（-2x²+24x）× $\text{[math]}$ -（5lnx+1）=- $\text{[math]}$ x²+6x-5lnx-1，求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数的极值，即是最值；
（ii）当m≥0.25时，f（x）=（-2x²+24x）m-（5lnx+1），求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数的极值，即是最值．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数模型的构建，解题的关键是建立函数模型，利用导数求最值．