Question

如图（1），边长为2的正方形ABEF中，D，C分别为EF，AF上的点，且ED=CF，现沿DC把△CDF剪切、拼接成如图（2）的图形，再将△BEC，△CDF，△ABD沿BC，CD，BD折起，使E，F，A三点重合于点A′．
（1）求证：BA′⊥CD；
（2）求四面体B-A′CD体积的最大值．

Answer 1

分析：（1）通过折叠前与折叠后直线与直线的垂直，证明BA′⊥平面A′CD，然后证明BA′⊥CD．
（2）设A′C=x（0＜x＜2），得到A′D=2-x．求出S_△A′CD=

1

2

x（2-x）．然后推出V_B-A′CD的表达式，利用二次函数求出体积最大值．

解答：（1）证明：折叠前，BE⊥EC，BA⊥AD，折叠后BA′⊥A′C，BA′⊥A′D，
又A′C∩A′D=A′，
所以BA′⊥平面A′CD，
因为CD?平面A′CD，
因此BA′⊥CD．（4分）
（2）解：设A′C=x（0＜x＜2），则A′D=2-x．因此S_△A′CD=

1

2

x（2-x）．（8分）
∴V_B-A′CD=

1

3

BA′•S_△A′CD=

1

3

×2×

1

2

x(2-x)=

1

3

[-(x-1)2+1]．
所以当x=1时，四面体B-A′CD体积的最大值为

1

3

．（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查逻辑推理能力与计算能力．