题目内容

函数 $数学公式$ 的值域是

A.
[-2，0]
B.
[-2， $数学公式$ ]
C.
[-1，1]
D.
$数学公式$

B
分析：利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 $\text{[math]}$ （sinx-cosx）+2sinxcosx，设 $\text{[math]}$ （sinx-cosx）=t，则 f（x）=-2t²+t+1，t∈[-1，1]．再利用二次函数的性质，求出函数的最大值和最小值，从而求得函数的值域．
解答：∵函数 $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ cosx+ $\text{[math]}$ sinx+sin2x= $\text{[math]}$ （sinx-cosx）+2sinxcosx，
设 $\text{[math]}$ （sinx-cosx）=t，平方可得 2sinxcosx=1-2t²，且-1≤t≤1，∴f（x）=-2t²+t+1，t∈[-1，1]．
故当t= $\text{[math]}$ 时，函数f（x）=-2t²+t+1取得最大值为 $\text{[math]}$ ，当t=-1时，函数f（x）=-2t²+t+1取得最小值为-2，
故函数 $\text{[math]}$ 的值域是[-2， $\text{[math]}$ ]．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性，二次函数的性质应用，属于中档题．