题目内容
（Ⅰ） 设a，b∈R+，求证：（a+b）（a2+b2）（a3+b3）≥8a3b3；
（Ⅱ） 已知a≠b，求证：a4+6a2b2+b4＞4ab（a2+b2）
（Ⅱ） 已知a≠b，求证：a4+6a2b2+b4＞4ab（a2+b2）
分析：（Ⅰ）利用基本不等式，再相乘，即可证得结论；
（Ⅱ）利用作差，再因式分解，即可得到结论．
（Ⅱ）利用作差，再因式分解，即可得到结论．
解答：证明：（Ⅰ）∵a，b∈R+，
∴a+b≥2
＞0，a2+b2≥2ab＞0，a3+b3≥2
＞0
∴三式相乘可得（a+b）（a2+b2）（a3+b3）≥8a3b3；…（6分）
（Ⅱ）∵a≠b，∴a4+6a2b2+b4-4ab（a2+b2）=（a-b）4＞0，
∴原不等式成立．…（12分）
∴a+b≥2
| ab |
| a3b3 |
∴三式相乘可得（a+b）（a2+b2）（a3+b3）≥8a3b3；…（6分）
（Ⅱ）∵a≠b，∴a4+6a2b2+b4-4ab（a2+b2）=（a-b）4＞0，
∴原不等式成立．…（12分）
点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查作差法，属于中档题．
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