题目内容
若有穷数列a1，a2，a3，…，an（n是正整数），满足a1=an，a2=an-1，…，an=a1即ai=an-i+1（i是正整数，且1≤i≤n），就称该数列为“对称数列”．例如：数列1，2，3，3，2，1和数列1，2，3，4，3，2，1都为“对称数列”．已知数列{bn}是项数不超过2m（m＞1，m∈N*）的对称数列，使得1，2，22…2m-1成为数列中连续的前m项，则数列{bn}的前2013项和S2013所有可能的取值的序号为（ ）
①22013-1
②2（22013-1）
③2m+1-22m-2013-1
④3•2m-1-22m-2014-1．
①22013-1
②2（22013-1）
③2m+1-22m-2013-1
④3•2m-1-22m-2014-1．
分析：由新定义的对称数列，和已知数列bn是项数为不超过2m（m＞1，m∈N*）的“对称数列”，并使得1，2，22，…，2m-1依次为该数列中前连续的m项，故数列{bn}的前2013项和需分情况讨论，然后利用等比数列的前n项和定义直接可求得，从而判断①②的正确与否；对于③④，先从等比数列的求和公式求出任意2m项的和，然后利用减法得到需要的前2013项的和，即可判断．
解答：解：因为数列bn是项数为不超过2m（m＞1，m∈N*）的“对称数列”，并使得1，2，22，…，2m-1依次为该数列中前连续的m项，
所以分数列的项数是偶数和奇数讨论．
若数列含偶数项，则数列可设为1，21，22，…，2m-1，2m-1，…，22，21，1
当m-1≥2012时，S2013=
=22013-1，所以①正确；
当1006≤m-1＜2012时，S2013=2
-
=2m+1-22m-2013-1，所以③正确；
若数列含奇数项，则数列可设为可设为1，21，22，…，2m-2，2m-1，2m-2…，22，21，1
当m-1≥2012时，S2013=22013-1≠2（22013-1），故②错误；
当1006≤m-1＜2012时，所以S2013=2
-
+2m-1=3•2m-1-22m-2014-1，所以④正确．
故选C．
所以分数列的项数是偶数和奇数讨论．
若数列含偶数项，则数列可设为1，21，22，…，2m-1，2m-1，…，22，21，1
当m-1≥2012时，S2013=
| 1×(1-22013) |
| 1-2 |
当1006≤m-1＜2012时，S2013=2
| 1×(1-2m) |
| 1-2 |
| 1×(1-22m-2013) |
| 1-2 |
若数列含奇数项，则数列可设为可设为1，21，22，…，2m-2，2m-1，2m-2…，22，21，1
当m-1≥2012时，S2013=22013-1≠2（22013-1），故②错误；
当1006≤m-1＜2012时，所以S2013=2
| 1×(1-2m-1) |
| 1-2 |
| 1×(1-22m-1-2013) |
| 1-2 |
故选C．
点评：本题考查学生对于新题意，新定义的理解，以及等比数列的求和公式及学生的计算能力，属中档题．
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