题目内容

根据下列条件求各函数的表达式.
(1)已知 f(
2
x
+1)=lgx
,求f(x);
(2)已知f(x-
1
x
)=
1
x2
+x2+1
,求f(x);
(3)已知f(x)满足2f(x)+f(
1
x
)=3x
,求f(x).
分析:(1)换元,令
2
x
+1
=t得x=
2
t-1
,代入函数关系式算出f(t)=lg
2
t-1
,即可得到所求函数表达式;
(2)配方得:
1
x2
+x2+1
=(x-
1
x
2+3,代入函数关系式即可得到所求函数表达式;
(3)用
1
x
代替x得到关于f(x)、f(
1
x
)
的另一个关系式,与已知等式联解消去f(
1
x
),即可得到所求函数表达式.
解答:解:(1)令
2
x
+1
=t,得x=
2
t-1

f(
2
x
+1)=lgx
,∴f(t)=lg
2
t-1

因此函数表达式为f(x)=lg
2
x-1

(2)∵
1
x2
+x2+1
=(x-
1
x
2+3,
f(x-
1
x
)=
1
x2
+x2+1=(x-
1
x
)
2
+3

∴f(t)=t2+3,即函数表达式为f(x)=x2+3;
(3)用
1
x
代替x,得2f(
1
x
)+f(x)=3•
1
x
…①
又∵2f(x)+f(
1
x
)=3x
…②
∴①②联解,消去f(
1
x
)得f(x)=2x
1
x
,即为所求函数表达式.
点评:本题给出函数满足的关系式,求函数的解析式.着重考查了配方、换元等函数解析式的求解的常用方法等知识,属于中档题.
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