Question

已知函数，满足：①对任意，都有；

②对任意n∈N ^*都有．

（Ⅰ）试证明：为上的单调增函数；

（Ⅱ）求；

（Ⅲ）令，试证明： 

 

Answer 1

【答案】

【解析】解：（I） 由①知，对任意，都有，

由于，从而，所以函数为上的单调增函数

（II）令，则，显然，否则，与矛盾.从而，而由,即得.

又由（I）知，即.

于是得，又，从而，即.

进而由知，.

于是,  

        ,             ,

,         ,

,       由于,

而且由（I）知，函数为单调增函数，因此.

从而.  

（Ⅲ）,

，.

即数列是以6为首项, 以3为公比的等比数列 .

    ∴   

于是,显然,  

另一方面,

从而.     

综上所述, .