题目内容

给定整数n≥2，设M₀（x₀，y₀）是抛物线y²=nx-1与直线y=x的一个交点．试证明对任意正整数m，必存在整数k≥2，使（ $数学公式$ ）为抛物线y²=kx-1与直线y=x的一个交点．

证明：y²=nx-1与y=x联立，可得x²-nx+1=0，∴x= $\text{[math]}$
∴x₀=y₀= $\text{[math]}$ ．
∴x₀+ $\text{[math]}$ =n≥2．…（5分）
若（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）为抛物线y²=kx-1与直线y=x的一个交点，则k= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ．…（10分）
记k_m= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，由于k₁=n是整数，k₂= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =（x₀+ $\text{[math]}$ ）²-2=n²-2也是整数，
且k_m+1=k_m（x₀+ $\text{[math]}$ ）-k_m-1=nk_m-k_m-1，（m≥2）①
所以对于一切正整数m，k_m= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 是正整数，且k_m≥2现在对于任意正整数m，
取k= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，满足k≥2，且使得y²=kx-1与y=x的交点为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．…（12分）
分析：先求抛物线y²=nx-1与直线y=x的交点，证明n≥2，再设（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）为抛物线y²=kx-1与直线y=x的一个交点，证明k= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，满足k≥2，即可证得结论．
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查基本不等式的运用，属于中档题．