Question

设n∈N^*，n＞1，用数学归纳法证明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

n

．

Answer 1

分析：直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证n=2时不等式成立；（2）假设当n=k（k≥2）时成立，利用放缩法证明n=k+1时，不等式也成立．

解答：证明：记f（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．（n∈N^*，n＞1）…（2分）
（1）当n=2时，f（2）=1+

1

2

＞

2

，不等式成立；             …（4分）
（2）假设n=k（n∈N^*，n≥2）时，不等式成立，…（6分）
即f（k）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＞

k

，
则当n=k+1时，有f（k+1）=f（k）+

1

k+1

＞

k

+

1

k+1

=

k(k+1) +1

k+1

＞

k+1

k+1

=

k+1

   …（10分）
∴当n=k+1时，不等式也成立．…（12分）
综合（1），（2）知，原不等式对任意的n∈N^*，（n＞1）都成立．…（14分）

点评：本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤，注意不等式的证明方法，放缩法的应用，考查逻辑推理能力．