Question

有下列命题中假命题的序号是

①④

①x=0是函数y=x³的极值点；
②三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d有极值点的充要条件是b²-3ac＞0；
③奇函数f（x）=mx³+（m-1）x²+48（m-2）x+n在区间（-4，4）上单调递减．
④若双曲线的渐近线方程为y=±

3

x，则其离心率为2．

Answer 1

分析：①用极值点的定义的来判断；②通过导数有不等根来判断；③用f′（x）＜0，x∈（-4，4）恒成立来判断；④若双曲线的渐近线方程为y=±

3

x，则

b

a

=

3

或

a

b

=

3

，可求离心率．

解答：解：①取导函数，可得y′=3x²≥0，∴函数在R上单调递增，∴函数无极值点，故是假命题；
①求导函数，可得f′（x）=3ax²+2bx+c，∴三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d有极值点的充要条件是导数有不等根，即4b²-12ac＞0，即b²-3ac＞0，故是真命题；
③∵函数是奇函数，∴f（-x）=f（x），求得m=1，n=0，∴f′（x）=3x²-48＜0x∈（-4，4）恒成立
∴f（x）=mx³+（m-1）x²+48（m-2）x+n在区间（-4，4）上是单调减函数，故是真命题；
④若双曲线的渐近线方程为y=±

3

x，则

b

a

=

3

或

a

b

=

3

，∴其离心率为2或

2 3

3

，故是假命题．
故答案为①④

点评：本题考查函数的极值与单调性，考查双曲线的几何性质，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．