题目内容

已知△OAB是边长为4的正三角形，CO⊥平面OAB，且CO=2，设D、E分别是OA、AB的中点．
（1）求证：OB∥平面CDE；
（2）求点B到平面CDE的距离；
（3）求二面角O-CD-E的大小．

（1）证明：∵DE是△AOB的中位线
∴DE∥OB
DE?平面CDE
OB?平面CDE
∴OB∥平面CDE
（2）作OM⊥直线DE于M点，
∵CO⊥平面OAB，由三垂线定理CM⊥DE，作OH⊥CM于H
则OH⊥相交直线CM、ME，∴OH⊥平面CDE
故OH为所求
易知，OM= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
（3）过点E作EF垂直于OA，垂足为F，过点E作EG垂直于CD，连接FG，则∠EGF为所求二面角的补角
在三角形CDE中，利用等面积可得EG= $\text{[math]}$
又EF= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴二面角O-CD-E的大小 $\text{[math]}$
分析：（1）利用DE是△AOB的中位线，可知DE∥OB，根据线面平行的判定定理，从而可证OB∥平面CDE
（2）作OM⊥直线DE于M点，关键CO⊥平面OAB，由三垂线定理CM⊥DE，作OH⊥CM于H
则OH⊥相交直线CM、ME，，根据线面垂直的判定理，可得OH⊥平面CDE，故OH为所求
（3）过点E作EF垂直于OA，垂足为F，过点E作EG垂直于CD，连接FG，则∠EGF为所求二面角的补角，从而可求二面角O-CD-E的大小 $\text{[math]}$
点评：本题以线面垂直为载体，考查线面平行，考查点面距离，考查二面角的大小，综合性较强．