Question

设数组A：{a₁，a₂，…，a_n}与数组B：{b₁，b₂，…，b_n}，A与B中的元素不完全相同，分别从A、B中的n个元素中任取m（m≤n）个元素作和，各得C_n^m个和．若由A得到的C_n^m个和与由B得到的C_n^m个和恰好完全相同，则称数组A与B是n元中取m的全等和数组，简记为DH_n^m数组．
（1）判断数组A：{5，15，25，45}与B：{0，20，30，40}是否为DH₄²数组？
（2）若数组A：{a₁，a₂，…，a_n}与数组B：{b₁，b₂，…，b_n}是DH_n^m数组（m≤n），求证：数组A与B一定是DH_nⁿ数组
（3）给定数组A：{a₁，a₂，a₃，a₄}，其中a₁≤a₂≤a₃≤a₄，问是否存在数组B，使得数组A与B为DH₄²数组？若存在，则求出数组B；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）在数组A：{5，15，25，45}中任取两个数求和，可得20，30，40，50，60，70，同样在B：{0，20，30，40}中任取两个数求和，可得20，30，40，50，60，70，故A与B为DH₄²数组
（2）求证数组A与B一定是DH_nⁿ数组，即求证a₁+a₂+…a_n=b₁+b₂+…b_n，由数组A：{a₁，a₂，…，a_n}与数组B：{b₁，b₂，…，b_n}是DH_n^m数组，则由A得到的C_n^m个和与由B得到的C_n^m个和恰好完全相同，由此可证
（3）假设存在数组B：{b₁，b₂，b₃，b₄}（不妨设b₁≤b₂≤b₃≤b₄）与A是DH₄²数组，则有a₁+a₂=b₁+b₂、a₁+a₃=b₁+b₃、a₂+a₄=b₂+b₄、a₃+a₄=b₃+b₄不妨设b₁=a₁-q则b₂=a₂+q，b₃=a₃+q，b₄=a₄-q   故q=

1

2

(a1+a4-a2-a3)，若q=0，则存在唯一数组B，否则不存在

解答：解：（1）A中C₄²个和为：20，30，40，50，60，70B中C₄²个和为：20，30，40，50，60，70
∴A与B为DH₄²数组
（2）证明：从A中任取m个元素作和共得C_n^m个数，再将C_n^m个数作和记为S，
在C_n^m个数中a₁、a₂、…、a_n都分别出现了C_n-1^m-1次，故S=C_n-1^m-1（a₁+a₂+…a_n）
同样从B中任取m个元素作和共得C_n^m个数，这些数的和为S'，S'=C_n-1^m-1（b₁+b₂+…b_n）
显然S=S'∴a₁+a₂+…a_n=b₁+b₂+…b_n
即A与B为DH_nⁿ数组
（3）假设存在数组B：{b₁，b₂，b₃，b₄}（不妨设b₁≤b₂≤b₃≤b₄）与A是DH₄²数组，
则有a₁+a₂=b₁+b₂、a₁+a₃=b₁+b₃、a₂+a₄=b₂+b₄、a₃+a₄=b₃+b₄
不妨设b₁=a₁-q则b₂=a₂+q，b₃=a₃+q，b₄=a₄-q
从而a₂+a₃=b₁+b₄（不能等于b₂+b₃否则q=0与题意不符）
故q=

1

2

(a1+a4-a2-a3)
①a₁+a₄≠a₂+a₃，则一定存在唯一数组B：{a₁-q，a₂+q，a₃+q，a₄-q}
（其中q=

1

2

(a1+a4-a2-a3)）与A是DH₄²数组
②a₁+a₄=a₂+a₃，则不存在数组B与A是DH₄²数组．

点评：本题考查了排列与组合的应用，属新定义型创新题，解答难度较大，解题时首先要理解题意，然后根据要求用分析法分析，综合法写出解题过程