Question

已知函数地f（x）的定义域是{x|x∈R，x≠

k

2

，k∈Z}，且f（x）+f（2-x）=0，f(x+1)=-

1

f(x)

，当0＜x＜

1

2

时，f（x）=3^x．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）求f（x）在区间(2k+

1

2

，2k+1)(k∈Z）上的解析式．

Answer 1

分析：（1）由f(x+1)=-

1

f(x)

能导出f（x）是周期为2的函数．由此能够证明f（x）是奇函数．
（2）当x∈（

1

2

，1）时，f（x）=f[1+（x-1）]=-

1

f(x-1)

=

1

f(1-x)

=

1

3 1-x

．由此能够求出f（x）在区间(2k+

1

2

，2k+1)(k∈Z）上的解析式．

解答：解：（1）由f(x+1)=-

1

f(x)

，
得f(x+2)=-

1

f(x+1)

=f(x)，
所以f（x）是周期为2的函数．
∴f（x）+f（2-x）=0，
即为f（x）+f（-x）=0，
故f（x）是奇函数．
（2）当x∈（

1

2

，1）时，
由f(x+1)=-

1

f(x)

，
知f（x）=f[1+（x-1）]
=-

1

f(x-1)

=

1

f(1-x)

=

1

3 1-x

．
所以，当x∈（2k+

1

2

，2k+1），k∈Z）时，
f（x）=f（x-2k）
=

1

3 2k+1-x

．

点评：本题证明函数是奇函数，求函数的解析式，解题时要认真审题，注意函数的周期性、奇偶性的灵活运用．