Question

设集X是实数集R上的子集，如果x₀∈R满足：对?a＞0，都?x∈X，使得0＜|x-x₀|＜a，那么称x₀为集合X的聚点，用Z表示整数集，则给出下列集合：
①{

n

n+1

|n∈Z，n≥0}；②{x|x∈R，x≠0}；③{

1

n

|n∈Z，n≠0}；④整数集Z
其中以0为聚点的集合的序号有

 

（写出所有正确集合的序号）

Answer 1

分析：由已知中关于集合聚点的定义，我们逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，进而得到答案．

解答：解：①中，集合{

n

n+1

|n∈Z，n≥0}中的元素是极限为1的数列，
除了第一项0之外，其余的都至少比0大

1

2

，
∴在a＜

1

2

的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，
∴0不是集合{

n

n+1

|n∈Z，n≥0}的聚点
②集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=

a

2

（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=

a

2

＜a
∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点
③集合{

1

n

|n∈Z，n≠0}中的元素是极限为0的数列，
对于任意的a＞0，存在n＞

1

a

，使0＜|x|=

a

2

＜a
∴0是集合{

a

2

|n∈Z，n≠0}的聚点
④对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x-0|=0或者|x-0|≥1，也就是说不可能0＜|x-0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点
故答案为：②③．

点评：本题考查的知识点是集合元素的性质，其中正确理解新定义--集合的聚点的含义，是解答本题的关键．