Question

如图，在矩形ABC中，AB=4，AD=，E为AB的中点，现将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使A′在平面BCDE的射影在DE上，F为线段A′D的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面A′BC；
（Ⅱ）求直线A'C与平面A′DE所成角的正切值．

Answer 1

分析：（I）由F为线段A′D的中点．考虑取A′C的中点M，FM∥EB，FM=EB，从而有四边形EBMF为平行四边形，故有EF∥MB，根据线面平行的判定定理可证
（II）过C作CO⊥DE，连接A′O，由A′在平面BCDE的射影在DE上，可得平面A′DE⊥平面BCDE，从而有CO⊥平面A′DE
则∠CA'O就是直线A′B与平面A′DE所成的角，再由E为AB中点，可得CE⊥DE，由平面A′DE⊥平面BCDE，可得O与E重合，而
tan∠EA′C=

CE

A′ E

可求

解答：解：（I）证明：取A′C的中点M，连接MF，MB，则MF∥DC，
且FM=

1

2

DC，又EB∥DC，且EB=

1

2

DC，从而有
FM∥EB，FM=EB所以四边形EBMF为平行四边形，
故有EF∥MB，（4分）
又EF?平面A′BC，MB?平面A′BC，，
所以EF∥平面A′BC，．（6分）
（II）过C作CO⊥DE，O为垂足，连接A′O，
因为A′在平面BCDE的射影在DE上，所以平面A′DE⊥平面BCDE，
且平面A′DE∩平面BCDE=DE，所以CO⊥平面A′DE
所以∠CA'O就是直线A′B与平面A′DE所成的角．（10分）
因为E为AB中点，∴CE⊥DE
因为平面A′DE⊥平面BCDE，且面A′DE∩平面BCDE=DE，
所以O与E重合
因为A′E=2，CE=2

2

所以tan∠EA′C=

CE

A′E

=

2

，
故直线A'C与平面A′DE所成角的正切值

2

．（14分）

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定定理与线面平行与线线平行的相互转化，还考查了直线与平面所成角的求解，要注意利用已知图形构造直角三角形进行求解．