题目内容
某同学做了一个数字信号模拟传送器，经过10个环节，把由数字0，1构成的数字信号由发生端传到接受端．已知每一个环节会把1错转为0的概率为0.3，把0错转为1的概率为0.2，若发出的数字信号中共有10000个1，5000个0．问：
（1）从第1个环节转出的信号中0，1各有多少个？
（2）最终接受端收到的信号中0，1个数各是多少？（精确到十位）
（3）该同学为了完善自己的仪器，决定在接受端前加一个修正器，把得到的1和0分别以一定的概率转换为0和1，则概率分别等于多少时，才能在理论上保证最终接受到的0和1的个数与发出的信号同．
（1）从第1个环节转出的信号中0，1各有多少个？
（2）最终接受端收到的信号中0，1个数各是多少？（精确到十位）
（3）该同学为了完善自己的仪器，决定在接受端前加一个修正器，把得到的1和0分别以一定的概率转换为0和1，则概率分别等于多少时，才能在理论上保证最终接受到的0和1的个数与发出的信号同．
分析：（1）由于每一个环节会把1错转为0的概率为0.3，把0错转为1的概率为0.2，
则从第1个环节转出的信号中，0与1的个数为发对的与发错的个数和；
（2）数字错转的转移矩阵为A，设矩阵A的特征多项式为：f（λ）=λ2-1.5λ+0.5=（λ-1）（λ-0.5）
令f（λ）=0，得到A的特征值，将得到的值代入方程组
，于是得到矩阵A的特征向量
又设
=m
+n
，解得m，n，所以计算出A10
即可；
（3）设修正器的转移矩阵为B=
（0＜s＜1，0＜t＜1），则由题意得到6s-9t+4=0，可取s=
，t=
，也就是说1转为0的概率为
，0转为1的概率为
．
则从第1个环节转出的信号中，0与1的个数为发对的与发错的个数和；
（2）数字错转的转移矩阵为A，设矩阵A的特征多项式为：f（λ）=λ2-1.5λ+0.5=（λ-1）（λ-0.5）
令f（λ）=0，得到A的特征值，将得到的值代入方程组
|
又设
|
|
|
|
（3）设修正器的转移矩阵为B=
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| 1 |
| 2 |
| 7 |
| 9 |
| 1 |
| 2 |
| 7 |
| 9 |
解答：解：（1）从第1个环节转出的信号中，0的个数为：
10000×0.3+5000×0.8=7000（个）
1的个数为：10000×0.7+5000×0.2=8000（个）
（2）数字错转的转移矩阵为A=
，1和0的个数对应列矩阵
，
于是最终接受端收到的信号中1，0个数对应矩阵A10
，
矩阵A的特征多项式为：f(λ)=
=λ2-1.5λ+0.5=（λ-1）（λ-0.5）
令f（λ）=0，得到A的特征值为1或0.5，将1代入方程组
解得3x-2y=0，不妨设x=2，于是得到矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为
．
同理，把λ=0.5代入上述方程组得x+y=0，不妨设x=1，可得矩阵A的属于特征值0.5的一个特征向量为
．
又设
=m
+n
，于是
，求得
，
所以A10
=3000•110
+4000•0.510
=
≈
于是，最终接受端收到的信号中0约有9000个，1约有6000个
（3）设修正器的转移矩阵为B=
（0＜s＜1，0＜t＜1），则由题意有
•
=
于是得到6s-9t+4=0∵0＜s＜1，0＜t＜1
∴可取s=
，t=
也就是说1转为0的概率为
，0转为1的概率为
．
注：第（3）问答案不惟一，只要满足方程6s-9t+4=0 （0＜s＜1，0＜t＜1）的s，t均可．
10000×0.3+5000×0.8=7000（个）
1的个数为：10000×0.7+5000×0.2=8000（个）
（2）数字错转的转移矩阵为A=
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于是最终接受端收到的信号中1，0个数对应矩阵A10
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矩阵A的特征多项式为：f(λ)=
|
令f（λ）=0，得到A的特征值为1或0.5，将1代入方程组
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解得3x-2y=0，不妨设x=2，于是得到矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为
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同理，把λ=0.5代入上述方程组得x+y=0，不妨设x=1，可得矩阵A的属于特征值0.5的一个特征向量为
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又设
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所以A10
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于是，最终接受端收到的信号中0约有9000个，1约有6000个
（3）设修正器的转移矩阵为B=
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于是得到6s-9t+4=0∵0＜s＜1，0＜t＜1
∴可取s=
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| 7 |
| 9 |
也就是说1转为0的概率为
| 1 |
| 2 |
| 7 |
| 9 |
注：第（3）问答案不惟一，只要满足方程6s-9t+4=0 （0＜s＜1，0＜t＜1）的s，t均可．
点评：本题主要考查了矩阵特征值的计算与逆变换与逆矩阵以及几种特殊的矩阵变换等知识，属于中档题．
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