Question

已知椭圆＞b＞0）的离心率为，且过点．
（I）求椭圆的方程；
（II）已知点C（m，0）是线段OF上一个动点（O为原点，F为椭圆的右焦点），是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，使|AC|=|BC|，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据椭圆＞b＞0）的离心率为，且过点，建立方程组，即可求得椭圆的方程；
（II）设过点F且与x轴不垂直的直线l的方程为：y=k（x-2）代入椭圆方程，消去y可得一元二次方程，求出AB垂直平分线的方程，将C的坐标代入，即可求得结论．
解答：解：（I）由题意，，∴，∴椭圆的方程为；
（II）设过点F且与x轴不垂直的直线l的方程为：y=k（x-2）代入椭圆方程，消去y可得
（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，则△=16k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）=-16k²+8＞0，∴k²＜
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=，y₁+y₂=-
∴AB的中点的坐标为（）
∴AB的垂直平分线的方程为y+=-（x-）
将点C（m，0）代入可得0+=-（m-）
∴m=
∵0＜m＜2
∴恒成立
∴存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，使|AC|=|BC|．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，确定椭圆的方程，求出AB的垂直平分线的方程是关键．