题目内容
16、如图所示，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F．求证：（1）BC⊥平面PAB；（2）AE⊥平面PBC；
（3）PC⊥EF．
分析：（1）由线面垂直的性质得PA⊥BC，又AB⊥BC，从而证得BC⊥平面PAB．
（2）由线面垂直的性质可得BC⊥AE，PB⊥AE，从而证得AE⊥平面PBC．
（3）由线面垂直的性质可得AE⊥PC，又AF⊥PC，从而证得 PC⊥平面AEF，故PC⊥EF．
（2）由线面垂直的性质可得BC⊥AE，PB⊥AE，从而证得AE⊥平面PBC．
（3）由线面垂直的性质可得AE⊥PC，又AF⊥PC，从而证得 PC⊥平面AEF，故PC⊥EF．
解答：证明：（1）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC．
∵AB⊥BC，AB∩PA=A，
∴BC⊥平面PAB．
（2）∵BC⊥平面PAB，AE?平面PAB，∴BC⊥AE．∵PB⊥AE，BC∩PB=B，∴AE⊥平面PBC．
（3）∵AE⊥平面PBC，PC?平面PBC，∴AE⊥PC，∵AF⊥PC，AE∩AF=A，∴PC⊥平面AEF．
而EF?面AEF，∴PC⊥EF．
∴PA⊥BC．
∵AB⊥BC，AB∩PA=A，
∴BC⊥平面PAB．
（2）∵BC⊥平面PAB，AE?平面PAB，∴BC⊥AE．∵PB⊥AE，BC∩PB=B，∴AE⊥平面PBC．
（3）∵AE⊥平面PBC，PC?平面PBC，∴AE⊥PC，∵AF⊥PC，AE∩AF=A，∴PC⊥平面AEF．
而EF?面AEF，∴PC⊥EF．
点评：本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，证明AE⊥平面PBC，是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
如图所示，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°．
如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l．
如图所示，P为△AOB所在平面上一点，且P在线段AB的垂直平分线上，若
．
，E为PC中点，求AE与BC所成角的余弦值． 
