Question

9．证明下列各式：
（1）cos20°（tan40°-$\sqrt{3}$）=-tan40°；
（2）sin（α+β）-2cosαsinβ=tan（α-β）[2cosαcosβ-cos（α+β）]．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的恒等变换的应用从等式的左边入手证明；
（2）利用两角和差的三角函数公式证明左边等于右边即可．

解答 证明：（1）cos20°（tan40°-$\sqrt{3}$）
=cos20°（tan40°-tan60°）
=$\frac{cos20°（sin40°cos60°-cos40°sin60°）}{cos40°cos60°}$
=$\frac{cos20°sin（40°-60°）}{\frac{1}{2}cos40°}$
=-$\frac{2sin20°cos20°}{cos40°}$
=-tan40°．
（2）∵左边=sinαcosβ+cosαsinβ-2cosαsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ=sin（α-β），
右边=tan（α-β）[2cosαcosβ-cosαcosβ+sinαsinβ]=tan（α-β）[cosαcosβ+sinαsinβ]
=tan（α-β）cos（α-β）=sin（α-β），
∴左边=右边，得证．

点评 本题考查了三角恒等式的证明，用到了倍角公式、两角和与差的三角函数公式以及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．