题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,侧棱平面,为的中点,,,,.
(1)求二面角的余弦值;
(2)在线段上是否存在点,使得平面?若存在,求出点的位置,若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)存在,的中点.
【解析】
(1)作,以为原点,以 的方向分别为轴,轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面的法向量、平面的法向量即可得二面角的的余弦值;
(2)线段上存在点,使得平面”等价于垂直面的法向量.
作,以为原点,以 的方向分别为轴,轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
则,
设平面的法向量为,
由 ,有
则可以取
设平面的法向量为,
由 ,有
则可以取
所以.
由图可知, 二面角的余弦值为
(2) 由(1)可知面的法向量为,
“线段上存在点,使得∥平面”等价于,
,设,
则
由,得解得.
所以线段上存在点,即中点,使得平面.
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