题目内容

过椭圆左焦点F,倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点,若|FA|=2|FB|,则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】分析:设椭圆的左准线为l,设A、B两点在l上的射影分别为C、D,连接AC、BD,过点B作BG⊥AC利用圆锥曲线的统一定义,再结合直角△ABG中,∠BAG=60°,可求出边之间的长度之比,可得离心率的值.
解答:解:如图,设椭圆的左准线为l,过A点作AC⊥l于C,
过点B作BD⊥l于D,再过B点作BG⊥AC于G,
直角△ABG中,∠BAG=60°,所以AB=2AG,…①
由圆锥曲线统一定义得:
∵FA=2FB,
∴AC=2BD
直角梯形ABDC中,AG=AC-BD=…②
①、②比较,可得AB=AC,
又∵

故所求的离心率为
故选B.
点评:本题考查了圆锥曲线的统一定义的应用,结合解含有60°的直角三角形,求椭圆的离心率,属于几何方法,运算量小,方便快捷.
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