Question

已知函数f(x)=

4cosπx

(4x2+4x+5)(4x2-4x+5)

，对于下列命题：
①函数以f（x）不是周期函数；
②函数f（x）是偶函数；
③对任意x∈R，f（x）满足|f(x)|＜

1

4

，其中真命题是

①②③

．

Answer 1

分析：①由于二次函数不是周期函数，则f（x）不是周期函数
②f（-x）=

4cosπ(-x)

(4x2-4x+5)(4x2+4x+5)

=f（x），即f（x）是偶函数
③由于4x2-4x+5=4(x-

1

2

)2+4≥4，4x2+4x+5=4(x+

1

2

)2+4≥4，|4cosπx|≤4，可判断

解答：解：∵f(x)=

4cosπx

(4x2+4x+5)(4x2-4x+5)

①由于二次函数不是周期函数，则f（x）不是周期函数，①正确
②f（-x）=

4cosπ(-x)

(4x2-4x+5)(4x2+4x+5)

=f（x），即f（x）是偶函数，②正确
③由于4x2-4x+5=4(x-

1

2

)2+4≥4，4x2+4x+5=4(x+

1

2

)2+4≥4，|4cosπx|≤4
∴|f（x）|=

|4cosπx|

(4x2+4x+5)(4x2-4x+5)

＜

4

4×4

=

1

4

③正确
故答案为：①②③

点评：本题主要考查了函数的周期性、奇偶性及函数值域的求解，属于函数知识的综合应用．