Question

如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是PC，PA的中点，且PA=AB=2AD．
（I）求证：MN⊥CD；
（Ⅱ）求二面角P-AB-M的余弦值大小；
（Ⅲ）在线段AD上是否存在一点G，使GM⊥平面PBC？若不存在，说明理由；若存在，确定点c的位置．

Answer 1

分析：（I）建立空间直角坐标系，证明

MN

•

DC

=0，可得MN⊥CD；
（II）求出平面ABM的法向量、平面APB的法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角P-AB-M的余弦值大小；
（Ⅲ）设出G的坐标，由

GM • PC =0 GM • BC =0

，即可求得结论．

解答：（I）证明：设PA=AB=2AD=2，以AD为x轴，以AB为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，1，0），N（1，0，0）
∴

MN

=(0，-

1

2

，-1)，

DC

=(2，0，0)
∴

MN

•

DC

=0，
∴MN⊥CD；
（Ⅱ）解：由（I）知，M（1，

1

2

，1），

AM

=（1，

1

2

，1），

AB

=（2，0，0），
设平面ABM的法向量

n

=（x，y，z），则

n

•

AM

=0，

n

•

AB

=0，
∴

x+ y 2 +z=0 2x=0

，∴

n

=（2，0，-1），
∵平面APB的法向量

m

=（1，0，0），
∴二面角P-AB-M的余弦值cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m|

=

2 5

5

；
 （III）解：假设线段AD上是存在一点G（0，λ，0）（0＜λ＜1），使GM⊥平面PBC，
则

GM

=（1，

1

2

-λ，1），

BC

=（0，1，0），

PC

=（2，1，-2）
由

GM • PC =0 GM • BC =0

，可得

1 2 -λ=0 2+ 1 2 -λ-2=0

，解得λ=

1

2

∈(0，1)
∴线段AD的中点G，使GM⊥平面PBC．

点评：本题考查线线垂直，考查平面的二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点的存在性的探索，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．