题目内容

公因数只有1的两个数,叫做互质数.例如:2与7互质,1与4互质.在1,2,3,4,5,6,7的任一排列α1•α2•α3•α4•α5•α6•α7中,使相邻两数都互质的不同排列方式共有(  )种.
分析:根据题意,分析可得1、5、7这三个数与任意的数互质,可以放在任意位置,最先安排这三个数,2、4、6这三个数两两有公约数,彼此不能相邻,3与6也不能相邻,则对2、4、6和3这四个数,分两种情况讨论:①3不2、4在中间,②3在2、4之间,分别求出每种情况的排法数目,有分类计数原理可得2、4、6和3这四个数的排法数目,进而由分步计数原理,计算可得答案.
解答:解:根据题意,先排1、5、7,有A33=6种情况,排好后有4个空位,
对于2、4、6和3这四个数,
分两种情况讨论:①3不2、4在中间,可先将2、4、6排在4个空位中,有A43=24种情况,3不能放在6的两边,有5种排法,则此时有24×5=120种不同的排法,
②3在2、4之间,将这三个数看成整体,有2种情况,与6一起排在4个空位中,有A42=12种情况,则此时有2×12=24种不同的排法,
则2、4、6和3这四个数共有120+24=144种排法;
则使相邻两数都互质的不同排列方式共有6×144=864种;
故选C.
点评:本题考查排列、组合的应用,关键是依据互质数的定义,对所给的7个数进行分组,再分步进行排列.
练习册系列答案
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